Mathematica学习笔记·三

Mathematica第二原理：计算即重写

根据上节笔记中的开头，我简单说明了下模式匹配，这节笔记我将会记录一下规则带入相关内容

重写规则

所谓重写，即是将匹配成功的模式改写成为其他形式

而Mathematica就是由一大堆重写规则组成的

重写规则的一般形式是：

• （模式）（重写符号）（重写结果）

其中重写符号有四种：

• -> 规则（Rule）
• :> 规则延迟（RuleDelayed）
• = 赋值（Set）
• := 设置延迟（SetDelayed）

规则与规则延迟是一种较为安全的重写机制，因为只有在你应用它们的时候它们才起作用

而赋值和设置延迟则是添加到系统内部的一种重写规则，一旦添加进去就立刻起作用，并且永远存在，除非你手动移除它们，而常见的移除相关函数如下：

• Unset[f] 去掉函数（或符号） f 定义的任何规则，符号是英文等号+英文句号，即 =.
• Clear[f] 清除函数（或符号） f 的值或定义
• ClearAll[f] 清除函数（或符号） f 相关联的所有的值、定义、属性、信息或缺省值
• Remove[f] 彻底去除函数（或符号） f ，使得Wolfram语言无法再识别

替换规则

提到替换规则，我们则需要知道一些常用函数，如下所示：

• Replace[expr,rules,levelspec] 将 expr 中指定的层数 levelspec （默认是所有层）用 rules 进行替换
• ReplaceAll[expr,rules] 将 expr 尽可能的用 rules 进行替换，符号是英文正斜杠+英文句号，即 /.
• ReplaceRepeated[expr,rules] 将 expr 用 rules 重复替换至不再改变，符号是两个英文正斜杠+英文句号，即 //.
• ReplacePart[expr,{{i1,j1,...}->new1,...}] 将 newn 替换 expr 中位置是 {in,jn,...} 处的元素​
• ReplaceList[expr,rules,n] 将 expr 用 rules 替换的所有可能的结果用列表表示出来，列表中最多有 n 个结果（默认是所有结果）

（实际上就是Replace各种形式的变种，ReplacePart就是Replace加上Map或者MapAt，其他的也都差不多）

值得一提的是：在Wolfram语言中，对规则命名后，就可以像操作符号表达式一样对一组规则进行操作

定义规则

替换运算将规则作用于一个表达式，但经常需要在可能的情况下自动使用变换规则，这可以通过对Wolfram语言表达式和模式赋值来实现，赋值表明适当形式的表达式出现时就使用规则，如：

• expr /. lhs->rhs 将规则用于一个表达式
• lhs = rhs 赋值使规则可能时立即使用

除模块（Module） 和块（Block） 等一些内部结构外，在Wolfram语言中的所有赋值都是永久的，若没有清除或改写他们，在Wolfram语言的同一个进程中所有赋值保持不变，赋值的永久性意味着使用时要特别慎重，一个在使用Wolfram语言时，常犯的错误是在后面使用x时忘记或误用了前面x的赋值，为了减少这一错误，可能时尽量避免赋值而用替换运算等，也可以在任务完成后立即使用Unset（即符号=.） 或Clear去清除所赋的值

在Wolfram语言编程中，经常需要不断改变一些变量的值，Wolfram语言在一些常用情况提供了通过增量修改变量的方法：

• i++ i加1
• i-- i减1
• ++i 先给i加1
• --i 先给i减1
• i+=di i加di
• i-=di i减di
• i*=di i乘以di
• i/=di i除以di

如果需要同时对几个变量赋值，也有如下方法：

• x=y=value 对x和y赋同一值
• {x,y}={value1,value2} 对x和y赋不同的值
• {x,y}={y,x} 交换x和y的值

在Wolfram语言编程时，通过逐步增加元素的方法来构造一个集合石十分方便的，这可以用前加于（PrependTo） 和附加（AppendTo） 来实现：

• PrependTo[v,elem] v前加元素elem
• AppendTo[v,elem] v后加元素elem
• v={v,elem} 构造一个包含elem的嵌套列表

在多种计算中，需要建立包含一列带标号的表达式的阵列，在Wolfram语言中得到的阵列的一种途径是定义列表，你可以定义一个列表，如a={x,y,z,…}，然后就可以用a[[i]] 来调用它的元素​或用a[[i]]=value来修改它，这一方式的缺陷时必须给出它所有的元素​，定义阵列的一个简便方法时在需要时给出它的一些元素，这可以通过定义表达式如a[i] 来实现，可以把a[i]当作一个带索引或带下标的变量：

• a[i]=value 增加变量或改动变量的值
• a[i] 调用变量
• a[i]=. 删除变量
• ?a 显示定义过的值
• Clear[a] 清除定义过的值
• Table[a[i],{i,1,n}] 或 Array[a,n] 转换为一个列表List操作带标号的变量

在表达式a[i]中，i并不一定要是整数，事实上，Wolfram语言允许它是任意表达式，通过使用符号性的标号，可以在Wolfram语言中构造一些简单的数据库等

定义函数

定义函数表明当Wolfram语言遇到与模式相匹配的表达式时，它将用函数来代替该表达式

• f[x] = value 对指定表达式x的定义
• f[x_] = value 对任何涉及到x的表达式的定义

定义f[x]可以看作对阵列f的元素赋值，定义f[x_]可以看作对一个具有任意标号的阵列的一系列元素赋值，事实上，可以把函数看作具有任意变动标号的元素的阵列

从数学的观点看，f是一个映射，当定义f[1]和f[2]等时，就是给出其定义域中离散点的像，而f[x_]是给出f在一连续流点集上的像

Wolfram语言允许我们对任何表达式或模式定义变换规则，可以将具体表达式的定义与像等的定义相结合

许多数学函数可以通过将特定和一般定义相结合的方式给出，例如阶乘函数，在Wolfram语言中已经给出了这一函数n!，但可以用Wolfram语言的定义自行建立这个函数

定义顺序

在Wolfram系统中给出一系列定义时，一部分总是比另一部分更一般一些，Wolfram系统中的原则是：一般定义在特殊定义之后使用。 这意味着，规则的特例总是在一般情况之前使用。

这种行为对于定义函数节中给出的函数特别重要，不管输入方式如何，Wolfram系统总是把特殊规则放在一般规则之前，这意味着，当Wolfram系统在计算具有一般规则和特殊规则的表达式时，先测试特殊规则，当它不能用时，再使用一般规则。

Wolfram系统总是将特殊规则放在一般规则之前

Wolfram系统中定义的处理：

如果Wolfram系统不遵循上述原则，则特殊规则将会被一般规则所屏蔽。尽管在许多情况下，Wolfram系统能判断哪一个规则更一般一些，但总有些例外，例如在含有两个ReplaceAll (即/;) 的规则中，就无法确定那一个更一般，事实上也没有明确的顺序，在顺序不清楚时，Wolfram系统总是按照输入顺序保存规则

定义形式

Wolfram语言中有两种赋值形式：立即赋值和延迟赋值，其主要区别是什么时候计算右式的值，立即赋值是在赋值时立即计算，而延迟赋值在赋值时并不计算右式，而是在需要右式的值时才进行计算

• lhs = rhs （立即赋值） 赋值时立即计算 rhs
• lhs := rhs （延迟赋值） 每次需要 lhs 时计算 rhs

同样的，Wolfram语言中也有两种变换规则形式：立即变换和延迟变换

• lhs -> rhs 给出规则后就计算 rhs
• lhs :> rhs 使用规则时计算 rhs

在用SetDelayed（即:=） 定义的函数中，调用时函数的值就会被反复计算，但一些计算中，需要将同一组函数使用多次，这时就可以让Wolfram语言记住这些函数值以节省时间，接下来给出定义这种函数的方法：

• f[x_] := f[x] = rhs 定义一个保存已有值的函数

注：关于记住函数值这里存在一个权衡，在记住了一些函数值时，查找就比计算快，但这需要占用内存。通常当重复计算的代价很大时保存函数值，且需要保存的函数不宜太多。

定义关联

在Wolfram语言中,f[args]=rhs和f[args]:=rhs会将对象f和你的定义相关联，也就是说，当输入?f时，就会显示该定义，一般我们把符号f作为标头的表达式称为f的下值（downvalue）

Wolfram语言也支持上值（upvalue），上值可以把不直接作为表头的符号与定义相关联，同样的，我们可以将任意赋值和符号相关联

• f[args] := rhs 定义 f 的下值
• f[g[args],…] ^:= rhs 定义 g 的上值
• f /: lhs = rhs 将 rhs 赋给 lhs，并将赋值和符号 f 相关联

示例如下：

• f[g] ^= value 让赋值与 g 相关联而不是与 f 相关联
• f[g[args]] ^= value 同上
• f[g] ^:= value 让延迟赋值与 g 相关联
• f[g[args]] ^:= value 同上
• f[arg1,arg2,…] ^= value 让赋值与所有 argi 的标头相关联
• f[…] := rhs f 的下值
• f /: f[g[…]][…] := rhs f 的下值
• g /: f[…,g,…] := rhs g 的上值
• g /: f[…,g[…],…] := rhs g 的上值

上值的典型用法是建立特定对象的属性数据库，使用上值可以把对象的定义与所关心的相关联，而不是与你指定的属性相关联

文章于2024.9.2编写，2024.10.22完成

（2024.11.1添加图片，怎么少前1就这么没了啊，成天💊，结果真💊了）